تطوير وتحليل الخوارزميات الفعالة لحل الأنظمة الخطية الكبيرة باستخدام تقنيات التحليل مثل العددي والمصفوفات المتفرقة

الملخص

تهدف هذه الدراسة إلى تطوير خوارزميات عددية فعالة لحل الأنظمة الخطية الكبيرة من الصيغة ، حيث تمثلA مصفوفة متفرقة ذات أبعاد ضخمة. يمثل هذا النوع من المشكلات تحديًا حقيقيًا في مجالات متعددة مثل النمذجة العددية، والتحليل الهندسي، وتحليل البيانات، نظرًا لما يتطلبه من قدرة حسابية كبيرة. تركز الدراسة على استغلال الخصائص الهيكلية للمصفوفات المتفرقة بهدف تقليل التكلفة الزمنية والموارد الحسابية.تم تصميم وتطبيق مجموعة من الخوارزميات العددية المعتمدة على أساليب تكرارية مثل Jacobi، وGauss-Seidel، وConjugate Gradient، مع دمج تقنيات "ما قبل التهيئة" لتحسين معدل التقارب. استخدمت أدوات برمجية عالية الكفاءة لتنفيذ النماذج، كما أُجري تحليل إحصائي باستخدام برنامج SPSS لتقييم أداء الخوارزميات من حيث السرعة والدقة.تراوحت أحجام الأنظمة التي خضعت للاختبار بين 5000 و500000 معادلة، وقد أظهرت النتائج تحسنًا في سرعة المعالجة بنسبة تصل إلى 45%، ودقة في الحلول بنسبة 30% مقارنة بالطرق التقليدية. تشير نتائج التحليل الإحصائي إلى فروق معنوية داعمة لكفاءة النماذج المقترحة، ما يعزز جدواها في تطبيقات الرياضيات التطبيقية.